Les nombres premiers Troisième

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Un nombre premier est un entier positif qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs.
Un entier a toujours comme diviseur 1 et lui-même. S'il n'y a pas d'autre diviseur, cet entier est considéré comme un nombre premier.

Liste des nombres premiers jusqu'à 100

Il est important de connaitre tous les nombres premiers au moins jusqu'à 20 :

Bon à savoir

Attention, le chiffre 1 n'est pas considéré comme un nombre premier car il n'a qu'un diviseur entier : 1

Décomposition en facteur premier

Tous les nombres entier positif supérieurs à 1 peuvent s'écrire sous la forme d'un produit de nombres premiers. Par exemple :

Comment faire une décomposition en facteurs premiers

Pour réaliser la décomposition en facteurs premiers nous pouvons utiliser un tableau pour visualiser chaque étape. A chaque étape, nous allons avoir un nombre pour lequel nous allons chercher un nombre premier qui le divise. La décomposition s'arrête lorsque nous arrivons à 1. La décomposition en facteurs premiers est le produit des nombres de la colonne de droite.

Exemple :

Exemple de décomposition du nombre 1044

Exemple de décomposition du nombre 456 :

Calcul du PGCD (Plus grand diviseur commun)

Maintenant qu'on a les décompositions en facteurs premiers des nombres 1044 et 456, nous allons pouvoir calculer le PGCD. Pour cela, il faut prendre les facteurs premiers commun aux deux nombres en conservant la puissance la plus faible. Dans notre exemple, 1044 = 2 x 3² x 29 et 456 = 2² x 3 x 19 donc le PGCD de 1044 et 456 est 2 x 3 = 6.

Calcul du PPCM (Plus petit multiple commun)

La première étape pour calculer le PPCM de deux nombres est de les décomposer en facteurs premiers.
Reprenons l'exemple précédent où nous avions déjà fait la décomposition en nombres premiers : $1044=2^{2}x{3}^{2}x29$ et $456=2^{3}x3x19$.
Cette fois, pour calculer le PPCM, nous allons prendre l'ensemble des facteurs premiers des deux nombres en conservant leur exposant le plus grand. Donc :
$1044=2^{2}x{3}^{2}x29$ et $456=2^{3}x3x19$ donc le PPCM de 1044 et 456 est $2^{3}x{3}^{2}x19x29=\mathrm{39\; 672}$