Théorème de Thalès Quatrième

Définition

Soit un triangle ABC, et deux points D et E, D sur la droite (AB) et E sur la droite (AC), de sorte que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC). Alors :

$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}$

Il y a deux cas possible :

Qu'est-ce que ça veut dire ?

Le théorème de Thalès met en évidence un rapport de proportionnalité entre les longueurs des deux triangles, c'est-à-dire qu'un des triangles est une version plus petite de l'autre. On parle alors de triangles semblables.

Comment s'en servir ?

$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}$ signifie que les 3 égalités suivantes sont vraies : $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}$, $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}$ et $\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}$

Donc si on connait trois valeurs dans une des égalités, alors on peut calculer la quatrième longueur.

Exemple

Ici, on connait les longueurs $\mathrm{AB}=10$, $\mathrm{AC}=12$ et $\mathrm{AE}=6$. On peut alors calculer la longueur de AD grâce au théorème de Thalès.

$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}$ => $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{10}}=\frac{6}{\mathrm{12}}$

Réciproque du théorème de Thalès

Dans un triangle ABC, supposons donnés des points D et E appartenant respectivement aux segments [AB] et [AC]. Si les rapports $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}$ et $\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}$ sont égaux, alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.